Hiukankin mutkikkaat kielen ilmaukset aiheuttavat erimielisyyksiä. Viimeksi kokeilimme termiä ”torjuntavoitto”. Kukaan ei tarttunut perusmerkityksiin. Voitto on vihollisen tai sen taisteluun käyttämien voimien tekeminen toimintakyvyttömiksi. Toimintakyvyttömyys tarkoittaa mahdollisuutta toteuttaa ilmoitettuja tai ilmeisiä päämääriään.
Myös hyvin yksinkertainen koe aiheuttaa näköharhoja ja siten erilaisia tulkintoja. Ovia on kolme. Yhden takana on auto, kahden takana ei mitään. Saat valita oven. Sanot esimerkiksi ”numero 1” (tai 2 tai 3). Juontaja hyppii ja tanssahtelee ja avaa toisen jäljellä olevista suljetuista ovista. Sen takana ei ole mitään. Juontaja kysyy: ”Vaihdatko vai pidätkö kiinni valinnastasi?”
Ajattelet: todennäköisyys voittaa auto on 50-50 (0.5 tai 50 %). Teet valintasi.
Väärin.
Vaihtamalla valintaasi todennäköisyys on 2/3. Pysymällä valinnassa se on 1/3. Melkein kaikki tekevät tuo väärän todennäköisyysarvioinnin (50 %). Kokeissa erittäin suuri enemmistö pitää kiinni valinnastaan.
Kun kauan tunnettu leikki esitettiin lehdessä 1990 luvulla (Monty Hall Game), heti tuli 10 000 kirjettä, jossa 2/3:a väitettiin vääräksi vastaukseksi. Näistä toisinajattelijoista tuhat oli filosofian tohtoreita, luultavasti matematiikan tai fysiikan.
Asian järkeileminen ottaa aikansa, eikä sen selittäminen ole aivan helppoa. Kysymys ei sitten ole ehdollisesta todennäköisyydestä, vaikka se on helppo laskea Bayesin teoreeman avulla. Ja se auto on sattumanvaraisesti valitun oven takana, mutta juontaja tietää sen. Muuten hän ei uskaltaisi avata ovea, koska kikka on tyhjän näyttäminen. Esimerkiksi Wikipedian artikkelissa ”tyhjän” sijalla on vuohi. Se on yhdentekevää, mitä siellä on. Ei siis voittoa. Jos juontajalla on kaksi vaihtoehtoa eli pelaaja on nimennyt oven, jonka takana juontaja tietää olevan auton, oletamme että hän valitsee avattavan oven sattumanvaraisesti.
Ovi 1 Ovi 2 Ovi 3 Vaihdat: Et vaihda:
Auto 0 0 0 Auto
0 Auto 0 Auto 0
0 0 Auto Auto 0
Et vaihda – auto = 1/3. Vaihdat – auto = 2/3. Ja muistittehan, jos valitsit oven 1, juontaja avaa kakkosen tai kolmosen, jos valitsit oven 2, juontaja avaa oven 3, jos valitsit oven 3, juontaja avaa ykkösen tai kakkosen.
Tapaus kokeiltiin ja selitettiin amerikkalaisessa ”Myytinmurtajissa”. Halukas voi kokeilla esimerkiksi pelikorteilla tai kahvikupeilla ja pastillilla.
Intuition vastaisena esimerkkinä tämä on yhtä kuuluisa kuin ”syntymäpäiväparadoksi”, josta löytyy Googlella paljon esimerkkejä, myös tämän blogin vanha juttu. Pelurin ongelma (Gambler’s Dilemma) onkin sitten politiikan ja historian arkipäivää. Heität kruunua ja klaava. Olet saanut viisi kertaa peräkkäin kruunun. Mikä on kuudennen kruunun todennäköisyys?
Hengenvaarallinen esimerkki on ”kranaatti ei osu / salama ei iske kahta kertaa samaan paikkaan”. Kumpikin esimerkki antaa aihetta loputtomaan jankuttamiseen, sinunkauppojen irtisanomiseen ja nyrkkitappeluun. Väittelijät eivät yleensä piittaa peruskäsitteistä. Sana ”sama” on ehtymättömien riitojen aihe. Ovatko kotiavaimeni ja sen kaksoiskappale samoja vai eivät. Ovat ja eivät. Riippuu puheyhteydestä.
Joskus tulee sellainen karmea tunne, että logiikka, sanan filosofisessa mielessä, ei olisi hullumpi ajatus elvytettäväksi oppiaineeksi.
Niin. Valitse mielessäsi yksi näistä autoista. Monty Hall avaa oven ja näyttää, että sisällä ei ole mitään…
Torjuntavoitosta käy hyvästä mallista ruotsin kielen asema Suomessa. Se ikään kuin vaatii jatkuvaa valmiutta uusintaotteluun, vaikka joka päivä.
VastaaPoistaSiinä ei siis ole ainakaan vielä saavutettu lopullista ratkaisua.
Niin.
VastaaPoistaTuo oli aikoinaan Insinööriuutisissa (Tekniikka & Talouslehden edeltäjä). Sain parissa edellisessä työpaikassani kovat spekulaatiot aikaiseksi ja työrytmi jopa häiriintyi.
Itse demonstroin vaihtamisen posittivista vaikutusta siten että ovia olisi alunperin kymmenen ja palkinto yhden oven takana.
Valintatilanteessa mahdollisuus on yksi kymmenestä ja avustaja avaa valinnan jälkeen yhden oven ja kysyy "vaihdatko?".
Kukaan ei vaihtaisi, ei se vaihtamalla parane, ajattelee, mutta avustaja jatkaa ja avaa lisää tyhjiä ovia. Jokainen ymmärtää jossakin vaiheessa, vimeistään siinä vaiheessa kun ovia on enää kaksi, että vaihtaa se kannattaa.
Ja jos kuitenkin oli sen alkuperäisen takana...? :-)
PoistaSen todennäköisyys oli 1/10 jotta mahdollista on sekin. Mutta rahasta pelaamalla ja monta kierrosta peräjälkeen, vaihtamalla jokaisen kysymyksen jälkeen vaikkapa vain vuorotellen 1 ja 2 välillä kun avustaja avaa luukkuja 10...3 niin voittaisi paremmin kuin pysymällä alkuperäisessä.
PoistaKempinen haluaa kommenteeja, kiva.
VastaaPoistaMinulla on enää kaksi vaihtoehtoa, joista valita. Valinnan ulkopuolella on 998 vaihtoehtoa. Vain toinen on oikea. Mutta saan vaihtaa valintani yhden kerran. Kun vaihdan valintani, niin todennä-köisyys valita oikea on....
Siis jäljellä 2 vaihtoehtoa, joista toinen oikea, vaihdoit tai et. Eihän todennäköisyys siinä vaiheessa voi olla muuta kuin puolet!
PoistaTorjuntavoitto - suomenkielen suomalaisin sana, kenties myös kaunein. Ei esiinny muissa kielissä. Tulen ja veden liitto. Jumalanmiekka ja pyövelinruoska.
VastaaPoistaOvelaa. Olisi siis parempi vaihtaa, mutta jos auto olisikin alkuperäisessä valinnassa, kaduttaisi kahta kauheammin. Ja sehän pakottaa psykologisesti pitäytymään alkuperäisessä valinnassa.
VastaaPoistaAd Anonyymi: - valitettavasti myös mm. britit hehkuttavat torjuntavoittoa - defensive victory - El alameinissa 1942, nimenomaan yhteenottoa, joka tunnetaan nimellä Attle of Alam el Halfa.
VastaaPoistaSiitä voi sitten väitellä, kumpi voitti Verdunin tai Passchenddaelen (Ypres III) taistelun. Itse en osaisi sanoa.
Käsitteen rinnalla olisi mainittava näännytystaistelu, war of attrition.
"Toimintakyvyttömyys tarkoittaa mahdollisuutta toteuttaa ilmoitettuja tai ilmeisiä päämääriään."
VastaaPoistaTuohon kun nyt asettaisi rautakangen rakoon "ilmoitettuja tai ilmeisiä" ja vähän rytkäyttäisi niin saranat rusahtaisivat kyllä irti.
"jos valitsit oven 3, juontaja avaa ykkösen tai kakkosen."
VastaaPoistaEi kun siis avaa kakkosen.
Homma siis perustuu siihen, että juontaja poistaa yhden tyhjän oven ja tämä tuo systeemiin lisää informaatiota. Ensimmäisellä arvauksella on 1/3 mahdollisuus osua oikeaan ja 2/3 mahdollisuus erehtyä. Kun poistetaan yksi tyhjä ovi ja vaihdetaan arvaus kääntyy todennäköisyys toisin päin.
Vaikuttaa vähän kvanttiteorialta, jossa auton paikkaa ei ole määrätty ennen kuin valinta on tehty - eli auto on epämääräisessä tilassa siihen asti, että valinnan hetkellä autofunktio romahtaa johonkin tiettyyn laatikkoon.
VastaaPoistaNyt kuitenkin juontaja tietää missä laatikossa se auto on eli autofunktio on jo romahtanut. Valinnan tekijä ei siis vaikuta siihen.
Oletetaanpa, että samaan tehtävään osallistuu kaksi henkilöä, toisistaan tietämättä, ja valitsevat sattumalta eri laatikot. Nyt juontaja avaa sen kolmannen, joka on tyhjä - ja sen jälkeen siis molempien kannattaa vaihtaa laatikkonsa. Nerokasta.
Mutta entäpäs jos juontaja avaakin oven arvaamalla ja siellä ei ole autoa. Kannattaako silloin vaihtaa alkuperäistä valintaa? Taitaa silloin mennä 50/50.
VastaaPoistaTuli ehkä torjuntavoitto, mutta kun sitä turnauskestävyyttä ei kuitenkaan olisi ollut ns. pitkän päälle. Parempi luovuttaa.
VastaaPoistaLoputonta hupia saa aikaan myös sillä että haastaa ns. junapuolueen ihmisen matkustuskuluista sanomalla, että ainoa järkevä vertailu on tehdä se marginaalikustannuksista eli matkalipun hinta v. polttoainekustannukset. Autopuolue voittaa aina 6-0, kun lasketaan kustannukset matkustuskuluista vuositalolla.
Tai tirskahtaa aina kun joku ottaa esille ns. höpöluvut eli vaihtoehtoiskustannuksen. Sillä on paikkansa talousopissa, mutta samalla se on varma tapa nolata itsenä fiksumpien joukossa.
Kuten on olemassa nakkeja ja talousnakkeja, on olemassa myös miehiä ja talousmiehiä.
Ad Omnia: - käy ilmi tekstistä, että juontaja tietää, minkä oven takana auto on. Ellei näin olisi, homma ei toimisi - hän tietnekin voisi avata vahingossa oven, jonka takana on auto.
VastaaPoistaSiis auton paikka on sattumanvarainen (random), mutta juontaja tietää sen eli tietää, onkok tyhjiä ovia 1 vai 2. Jos pelaaja on valinnut auton, thjiä opn 2, jos tyhjän, tyhjiä on 1.
Asian matematiikka läytyy Wkkipediasta hakusanalla Monty Hall's game.
Ad Omnia: - leikki on kiinnostanut niin hurjasti, että edellä viittaamassani Wikipedian artikeleissa on kymmeniä lähteitä, jopa kokonainen kirja aiheesta.
VastaaPoistaMinua kiinnostaa ehkä eniten kgnitiivinen dissonanssi: miksi järkevä ja arviointikykyinen ihinen yleensä erehtyy tässä todennäköisyyttä koskevassa kysymyksessä.
Myytinmurtajien jaksossa kaikki 20 koehenkilöä ilmoittivat "en vaihda"...
"Minkä kirjoitin, sen kirjoitin!"
PoistaSamalla tavalla hämäävä on väite, että kun korttipakasta vedetään sattumanvaraisesti kolme korttia, todennäköisesti ainakin kaksi niistä on samaa maata. Ns. terve maalais-/keskustalaisjärki sanoo toisin. Maitahan on neljä ja kortteja vedetään vain kolme!
Erehtyy siksi, että se on vastoin arkijärkeä. Vaikka uskoisinkin, että asia on todennäköisyysmatemaattisesti noin, se on silti vastoin tervettä järkeä...
PoistaTestissä on siis kaksi vaihetta: Vaiheessa 1) todennäköisyys on 1/3. Vaiheessa 2) on jäljelle kaksi laatikkoa, joten todennäköisyys on 1/2.
Epäilen yhä, että tämä toimii vain teoriassa, jossa todennäköisyys lasketaan koko prosessille alusta lähtien, ei todellisessa maailmassa? Vai toimiiko tämä todellakin siis käytännössä? Pakko kai se on kokeilla, per...
Tapsan kannattaisi mennä pelaamaan rulettia ja odottaa että kuula on pysähtynyt tarpeeksi monta kertaa peräkkäin punaiselle tai mustalle. Hänhän on sitä mieltä että todennäköisyys vaihtuu jokaisen "vaiheen" jälkeen!
PoistaEn ole matemaatikko enkä mitenkään immuuni maalaisjärjelle, mutta olisin vaihtanut valintaani aikailematta, sillä minusta oli päivänselvää että todennäköisyys sille että auto oli valitsemani luukun takana oli 1/3 ja sille että se oli jonkun muun luukun takana oli 2/3 - ja sen jälkeen kun juontaja on avannut tyhjän luukun, nämä todennäköisyydet eivät muutu vaikka niitä muita luukkuja on jäljellä vain yksi.
Kuitenkin on hyvinkin "todennäköistä" että olisin elävässä elämässä pysynyt valinnassani, sillä (1) olisin luultavasti tehnyt valinnan puhtaasti taikauskoisin perustein enkä oikeaan tai väärään todennäköisyysarviointiin perustuen, ja (2) olisin arvellut että huonon tuurin sattuessa tekisi enemmän kipeää, jos auto olisi sittenkin ensiksi valitsemani luukun takana.
Sinä oletkin fiksu. Minun täytyi vääntää se itselleni rautalangasta eli kuvitella lottoavani, kuten tuolla alempana kuvailen.
PoistaRulettia en pelaa, sillä minähän päinvastoin olen sitä mieltä, että todennäköisyys ei vaihtele - jos on kaksi vaihtoehtoa, niin se on aina fifty-fifty, riippumatta mitä aiemmin tapahtui. Eli vaikka kuula pysähtyisi tuhat kertaa peräkkäin mustalle, niin todennäköisyys, että se pysyhtyisi seuraavaksi punaiselle on yhä 1/2.
Sekö on siis väärin ja todennäköisyys onkin 999/1000?
Arkijärjellä auton voittamisen todennäköisyys on vaihtamalla 0 %, arkijärjen mukaan juontaja kun olisi avannut sen sinun valitsemasi oven, jos sen takana ei olisi autoa.
PoistaJos ongelman muotoilee niin, että saat valita kaksi ovea, joista juontaja avaa toisen, ja sen jälkeen saat valita kahdesta jäljellä olevasta ovesta toisen, niin hommassa ei ole kellään mitään ongelmaa.
Pastori Bayes taitaa olla kovin harvinainen tuttavuus korkeakouluissa. Hyllyssäni löytyvästä opuksessa on aihetta käsittelevän kappaleen kohdassa maininta [Optional)
VastaaPoista*Minua kiinnostaa ehkä eniten kgnitiivinen dissonanssi: miksi järkevä ja arviointikykyinen ihinen yleensä erehtyy tässä todennäköisyyttä koskevassa kysymyksessä.
Myytinmurtajien jaksossa kaikki 20 koehenkilöä ilmoittivat "en vaihda"... Kemppinen*
On aika kova vaatimus, että ihminen potkaisee aivonsa systeemi ykkösestä, systeemi kakkosen reviirille. [Katso Kahneman, Kemppisen aikaisemmasta kirjoituksesta]
Tosin tuossa koeasetelmassa on eräs vinkki, joka voisi tönäistä ihmisen valitsemaan vaihtoehdon "vaihdan".
Nimittäin, juontajan ehdotuksen voisi myös käsittää vinkiksi tai lisäinformaatioksi. Esimerkki tosielämästä, jos Kasparov seuraa kun tuupit shakkipalikoita, ja Kasparovilta huudahtaa "WOW", niin kannattaa miettiä normaalia pidempään. Laudalla on ilmeisesti jotakin poikkeavaa?!
Heität kruunua ja klaava. Olet saanut viisi kertaa peräkkäin kruunun. Mikä on kuudennen kruunun todennäköisyys?
Kysymys edistyneille, kuinka monen kruunun jälkeen on syytä epäillä kolikon kieroutta?
D.L. Ferguson presented a generalization of this problem for the case of n boxes, in which Monty Hall opens p boxes. In this situation, the probability the contestant wins when he switches boxes is (n-1)/[n(n-p-1)] KVG
P.S. Jos Suomessa oli ohjelma nimeltään halutko miljonääriksi. Pelissä taisi olla mahdollista poistaa kaksi väärä vaihtoehtoa. Ehkä tässäkin pelissä kannatti vaihtaa oma valinta?
Tuon "salama ei iske kahdesti samaan paikkaan" -hokeman olen itse todennut vääräksi. Kerran seisoskellessani katselemassa ukkosta erään muuntajakentän liepeillä salama iski n. 20 sekunnin välein samaan pylvääseen. Eli kyllä salama iskee samaan paikkaan ja vieläpä aika usein.
VastaaPoistaMielenkiintoinen juttu, mutta blogistin selitys ja taulukko ei juuri auta sellaista joka ei tunne asiaa. Paljon ymmärrettävämpiä selityksiä löytyy netistä.
VastaaPoistaValitsen oven. Jos takana on vuohi, niin X avaa oven, jonka takana on toinen vuohi. --> X ei olisi edes avannut toista ovea, jos en olisi ensin valinnut ovea, jonka takana on vuohi. Eli auto on siinä kolmannessa ovessa, jota ei ole vielä valittu.
VastaaPoistaTämähän on aivan selvä.
VastaaPoistaNe jotka kokivat sen, että
karanaatti ei iske kahta kertaa samaan paikkaan
ovat eläviä todisteita.
Ne toiset, jotka voisivat väittää vastaan,
heitä asia ei ole kiinnostanut sen koomin.
Joo, kyllä asian tällainen hitaampikin viimein ymmärtää, kun kuvittelee että pelaisi vaikka lottoa.
VastaaPoistaMahdollisuus saada 7 oikein on... no, sanotaan vaikka yksi viidestätoista miljoonasta. Kun täytän yhden kupongin, tiedän että sillä voittaminen on erittäin epätodennäköistä (olen kokeillut).
Mutta jos lottotyttö nyt poistaakin loput 14 999 998 väärää kuponkia yksi kerrallaan ja sitten kun on yksi ainoa jäljellä kysyy, että vaihdatko... niin ankaran ajatustyön jälkeen päätän sittenkin vaihtaa. Siinä on ikään kuin jyvät seulottu akanoista.
Kognitiivinen dissonanssi taitaa olla jälleen kerran älykköjen puolella. Oikea vastaus on, että fifti-fiftillä mennään.
VastaaPoista(Älyköt suuntautuvat harhaan olettaessaan, että oven avaus toimenpiteenä jotenkin *johtuisi* siitä, ettei alkuperäinen valinta ollut muka oikea.
Tosiasiassa se saattoi olla oikea valinta, ja tämän todennäköisyys nousee tasan 50 prosenttiin yhden oven avaamisen myötä.
Tämän ymmärtää, kun ei ole sekoittanut päätään matematiikalla vaan on pelannut matikan tunnilla pitkävetoa.)
Terveisin Fermat
Ehkä olisi kannattanut olla pelaamatta matikan tunneilla...
PoistaTämä kirjoitus valitettavasti osoittaa että blogisti epäonnistui yrityksessään kertoa että kannattaa ko. tilanteessa vaihtaa (todennäköisyys 2/3).
Näin minäkin sen ensin järkeilin, mutta löivät eteen sellaiset rätingit, että nälkä ja vilu lähti.
PoistaAjattelin näet sellaista tapausta, että valitsisin jostakin laatikosta summan mutikassa vaikka palloja. Niitä olisi esim. 10, joista yksi olisi musta ja loput valkeita. Todennäköisyys nostaa musta olisi 1/10. Jos laitan pallon aina takaisin, ja nostan uudelleen sata kertaa peräkkäin valkean (vahingossa), niin jokaisen jälkeen todennäköisyys nostaa musta on yhä se sama 1/10.
Tämä Monty Hall -leikki eroaa tuosta siten, että joka noston jälkeen poistettaisiin yksi valkea pallo. Se muuttaa systeemiä.
Miksi ihmiset valitsevat autojutussa väärin... Jospa he tietoisesti tai tiedostamattaan ajattelevat tilannetta jossa juontajalla ei ole etukäteen annettuja sääntöjä. Silloin juontaja voi tehdä niin että jos kilpailija osuu oikeaan niin ei anna tilaisuutta vaihtaa. Jo kilpailija arvaa väärin niin vain silloin juontaja yrittää houkutella vaihtoon. Tämä voisi olla todellisuudessa tavanomaisempi kilpailutilanne kuin tuo tehtävässä kuvattu.
Poista"Ehkä olisi kannattanut olla pelaamatta matikan tunneilla..."
PoistaEn nyt olisi tuosta niin varma. Esim. tuo kirjoitukseni oli tehty kännissä. Voi sitä oivalluksen riemua, kun tajuaa, missä kognitiivinen dissonanssi tarkalleen on! Ja sitähän blogisti lopulta kysyi. Se, että aivojen jäähtyessä tajuaa, että on sattumoisin paitsi paikantanut kognitiivisen dissonanssin, myös haksahtanut siihen, on vähäpätöinen sivuseikka ottaen huomioon tutkimukseni tietellinen arvo.
T: Fermat
Kännissähän koko maailma manifestoituu kognitiivisena dissonanssina, jossa ihminen valaistuu ja tajuaa, ettei oman käyttäytymisen muutos mitään ratkaise: vika on muissa. Sen seurauksena hän sanoo suorat sanat vaimolle, anopille, naapurille, poliisille ja esimiehelle. Aamulla hän herää kaameaan konnotaatioon.
PoistaTuo konnotaatio nyt riippuu siitä, onko elimistö luteraaninen vai ei.
VastaaPoistaItselläni se ei sitä ole, joten sanoisin pikemminkin, että elän nykyisin jonkinlaisessa hegeliläisen alkoholismin vaiheessa, jossa ajatteluni on jonkinlainen synteesi logiikasta ja sen rajoitusten jatkuvasta kiertämisestä. Erikoisintahan, on että kaikki ajattelu voidaan nähdä tarvittaessa loogisena, vain premissit vaihtuvat.
Esimerkiksi ajatus siitä, että laatikoiden ahtaus todistaa vian olevan aina itsessä, on minulla käytännöllisesti katsoen poissuljettu. Itse asiassa ajattelen suurimman osan aikaa täysin laatikoiden ulkopuolella.