Sivun näyttöjä yhteensä

7. heinäkuuta 2012

Viisaat puut


Jutun kuvassa näkyviä puita ei ole olemassa. Ne ovat tietokonegrafiikkaa, joiden tuottamiseen on käytetty eräitä algoritmeja.

Sana ’algoritmi’ ei kuulunut minun aikanani yleissivistykseen. Epämääräisesti ja riittämättömästi kuvailtuna se tarkoittaa sarjaa sääntöjä, jotka määrittävät täsmällisesti tehtävän ratkaisun. Sanan käyttö ei edellytä, että puhe olisi pelkistä numeroista. Neuvo kesämökille ajamisesta on algoritmi: a km Savonlinnasta tietä nro  bb, käänny oikealle, b km yksityistietä, käänny oikealle, c km samaa tietä, käänny vasemmalle…

Tietotekniikasta maun saaneet osaavat jo sanoa, että pysähtymisongelma ei ole helppo. Kuuluuko algoritmin sääntö: olet perillä – pysähdy. Matemaattisen algoritmin perusesimerkki on jakolasku jakokulmassa. Laskutoimitukset eivät kuulu tähän asiaan mutta laskentamenetelmä kuuluu.

Mainio kirja kasvien algoritmisesta kauneudesta löytyy verkosta (Prusinkiewicz – Lindenmayer, ”The Algorithmic Beauty of Plants”). Aivan erinomainen esitys osittain samasta asiasta on kirjallaan ”Critical Massa” (pakollista luettavaa) erittäin kuuluisaksi tulleen Philp Ballin ”Branches”. Kirjoittaja selvittää havainnollisesti eri teorioita ja laskelmia puun ja kasvin lehtien ja oksien muodosta ja suhteellisesta sijainnista. Aivan selvästi juuri puut ovat suoriutuneet loistavasti optimointitehtävästä, joka onkin aika vaikea.  Yksi kriteeri on suonien maksimaalinen kyky kuljettaa nestettä pienimmällä mahdollisella energialla.

Tässä ollaan tietysti lähellä fraktaalien yhteydestä tuttuja ongelmia. Seisoin kerran lätäkössä, joka virtasi silloin uutuuttaan hohtaneen kartan mukaan sekä Luttoon eli Jäämereen että Luiroon eli Pohjanlahteen – bifurkaatio. Muita vastaavia paikkoja opetettiin kansakoulussa – Lummene ja Vesijako.

Teoreetikko kysyy itseltään, miksi sade- ja sulamisvedet virtaavat juuri tiettyä reittiä. Vastaaminen on tässäkin vaikeaa, koska painovoima ja energia eivät yksin riitä selityksiksi. Miksi ison joen suulle muodostuu suisto?

Ilmiönä vielä tutumpi on kesäisen järven rantahiekan kuviointi, joka on aaltojen työtä. Tutun harjanne- tai aaltokuvion lisäksi  esiintyy outoja, ajoittain salaperäisiä muunnelmia, joiden matematiikkaa ja fysiikkaa on selvitetty viime vuosikymmenet.

Fraktaali liittyy käsitteenä eräänlaiseen mittakaavattomuuteen. Sentin pätkä on muodoltaan samanlainen kuin metri tai sata kilometriä. Fraktaali oli muotisana kuten myös kaaos. Juuri samalla tavalla kuin tällä viikolla Higgsin bosonista näistä tehtailtiin tiedeuutisia ja pian myös kirjoja, ja lukijat tunsivat viisastuneensa. Viisastuivatko he, se ei ole varmaa.

Luulen että lauantaisin aamulla lukijoilla on kaikenlaista hauskaa tekemistä, kuten siivoamista, tiskaamista ja kaupassa käyntiä, niin maalla kuin kaupungissa. Asiaa sen kummemmin pohtimatta yritän sijoittaa tälle päivälle kirjoituksen, joka sopii jotenkin säähän ja siis viikonpäivään. On tässä aivan valmiinakin pari tekstiä, joita kirjoittaessa vaahto pursui suupielistä. Mutta kun olen erinäisistä syistä kaupungissa eli siis maalla kodissani ja nautin kovasti kaiken kesäisyydestä, otaksun muidenkin olevan samoissa tunnelmissa.

Tiedettä, oikeastaan tieteenfilosofiaa, olen nyt sivunnut parissa kirjoituksessa myös siksi, että satunnaiseksi luulemani luonnehdinta verkkokeskustelusta onkin tullut vastaan usean kerran juuri hiukkasfysiikan yhteydessä. ”Miten on mahdollista, että tiede ei ole selvillä siitä, mikä on oikein ja mikä väärin!”

Olin kuvitellut, että kaikki lukutaitoiset oppivat käsittämään tuollaisen lauseen hullunkurisuuden viimeistään kymmenvuotiaina. Korostan nyt varmuuden vuoksi, että kirjoittajat tarkoittavat kysymystä, onko jokin hiukkanen olemassa vai ei.

Sen kunniaksi täytyy siteerata muistista Richard Feynmania, joka yhdessä Diracin kanssa on maailman kuuluisin lähes tuntematon fyysikko (vuosisadan huippuja – ei Einsteinin tai Bohrin kaltaista mainetta). Fyysikko lausui:

”Ongelma on, että tiedämme niin vähän. Ja vielä suurempi ongelma on, että olemme niin tyhmiä.” (”The Meaning of It All”, 1999).

29 kommenttia:

  1. Erittäin kiinnostavaa.

    Puiden ja yleensä kasvien graafisia muotoja voidaan tosiaan tuottaa parhaimmillaan varsin yksinkertaisilla algoritmeilla. Tai oikeammin ehkä formaaleilla kieliopeilla - pienellä joukolla geneerisiä sääntöjä, jotka rekursiivisesti sovellettuina tuottavat "koko kielen" esim. tietyn koiranputkityypin kaikki graafiset muodot. (Tässä ei siis nyt ole puhe "käännöspuista" - parse tree, vaan oikeista kasveista.)

    Tunnetusti formaalit kielet, automaattien teoria ja laskettavuuden teoria ovat kaikki saman kolikon kolme eri puolta. Vanhojen legendaaristen suuruuksien (Turing & co) ohella näitä on ansiokkaasti tutkinut ja luokitellut mm. Noam Chomsky, joka on muun ohella esittänyt myös kysymyksen "Onko myös musiikki [formaali] kieli?" Ts. voidaanko myös musiikki generoida rajatulla joukolla kielioppisääntöjä ? Chomskyn itsensä mukaan kysymys ei ole kauhean relevantti, johtuen ilmeisesti mm. siitä epämääräisyydestä, jolla musiikki rajataan muusta äänimaisemasta. Tietokonetango saattaa olla tuttu joillekin takavuosilta. Se oli kai kuitenkin lähinnä esimerkkipätkien yhdistelyä, ei niinkään geneerisellä kieliopilla tehtyä.

    Mutta siis: Suuri suunnitelma ja geneerinen "kielioppi" kaiken takana aina kasvikunnasta musiikkiin ?

    VastaaPoista
    Vastaukset
    1. Chomsky on menneen talven lumia. Yleistää liikaa. . .

      Poista
    2. Ts. voidaanko myös musiikki generoida rajatulla joukolla kielioppisääntöjä ?

      Ei kovin olennaista kokonaisuuden kannalta mutta jos ja kun tällaista speksiä tarkastelee, näyttää että se on suola.

      Muuten fraktaalista.
      En itse varsinaisesti innostu tuosta vanhan, vielä mun matikan kirjan, nk. patologisen yhtälön toistolla korrelaattia ampuvasta ideasta, (sitä ryöstöviljelevästä) motiivista a´la Jarre, joskus jopa System of a Down ...
      Mutta ei kai hullu ole se joka pyytää, vaan se joka maksaa.

      Ja toiseksi yleensä musatehtaassa ei ole huomioitu sitä mahdollisuutta että fraktaali varioituu juuri harmonisissa sävelsarjoissa (kuuloalueen ylä- ja alapuoella), ja kun resoluutioltaan 16-bittinen toistoformaatti leikkaa kaikki pois, niin styrkkarissa viimeisen digitaali/analogi-muunnoksen jälkeen musiikki voi vain simuloida omia johtosäveliään ylä-äänien harmonisissa sävelsarjoissa.

      Häviöttömässä toistossa tilanne on kokonaan toinen, lähellä aitoa musiikin sävelelämystä.

      Poista
    3. Maailmalta löytyy paljon ns. fraktaalimusiikkia. Toistaiseksi kaikki kuulumani on ollut vähintäänkin tylsää. Ja kaikki tuokin ollut psedofraktaalista.

      Poista
  2. Kun saaren rantaviiva tarkasti ottaen on jokseenkin äärettömän pitkä, niin miten on mahdollista että saaren pinta-ala on äärellinen? Tai kun kappale lähestyy toista ja välimatka puolittuu äärettömän monta kertaa, miten on mahdollista että kappaleet koskaan kohtaavat?

    VastaaPoista
    Vastaukset
    1. Ympyränkin pinta-ala on äärellinen, vaikka sen kehälle ja sisään mahtuu ääretön pistettä. Rantaviivaa ei oikeasti ole edes olemassa vaan se on sopimus - sen mielekkyys katoaa kokonaan kun zoomataan tarpeeksi lähelle. Luonnonmuotoja ja fraktaaleja verrataan keskenään, mutta luonto on luontoa ja fraktaalit matematiikkaa.

      Kappaleet eivät pysähdy mittailemaan välimatkojaan...

      Pahus kun tuli jätettyä lukiossa pitkä matematiikka väliin...

      Poista
    2. Asian voi ajatella näin:
      1) Saaren sisältä valitaan mielivaltainen piste, joka ei ole rantaviivalla.
      2) Piirretään tätä pistettä keskipisteenä käyttäen ympyrä, joka sivuaa rantaviivaa lähimmässä pisteessä. Tiedetään siis, että rantaviiva on joka pisteessä ympyrällä tai sen ulkopuolella. On siis selvää, että saaren pinta-ala on suurempi kuin tämän ympyrän pinta-ala.
      3) Piirretään samaa keskipistettä käyttäen ympyrä, joka sivuaa rantaviivaa mahdollisimman kaukana. Nähdään, että koko saari on tämän ympyrän sisäpuolella. Ympyrän pinta-ala on siis suurempi kuin saaren pinta-ala, joten saarella on äärellinen pinta-ala. Oikea pinta-ala on jossain näiden kahden ympyrän pinta-alan välillä. Näin on osoitettu, että saarella on äärellinen, nollasta poikkeava pinta-ala.

      Arkikokemuksen perusteella kaikki nuo vaiheet ovat mahdollisia kaikissa todellisissa saarissa. Mielenkiintoiseksi tilanne muuttuu, kun saaresta ei löydy pistettä, joka täyttäisi nämä ehdot.

      Toisaalta, jos mietit planometrin eli pinta-alamittarin toimintaperiaatetta, niin siinä käytetty Greenin lause edellyttää, että integraali lasketaan pitkin paloittain sileää käyrää. Fraktaalikäyrä ei ole paloittain sileä, joten lauseke ei toimi.

      Poista
    3. 'iäisyys on pitkä aika, varsinkin loppua kohti' (W. Allen)

      Poista
  3. "tällä viikolla Higgsin bosonista näistä tehtailtiin tiedeuutisia ..."

    Mielenkiintoista, onkohan ko. koe jo toistettu?

    VastaaPoista
  4. Kerran eräs ukko, lähellä Savonlinnaa, nojasi kilometritolppaan jossa luki 3 km. Siihen ratsasti Herrasmies. Se kysyi (vähän nenäänsä nyrpistellen) että "mihinkä tästä on 3 kilometriä?". Ukko vastasi "Kah, eiköhän liene joka suuntaan".

    VastaaPoista
  5. Mandelbrotin fraktaalin kauneus on huijausta. Asia valkenee, jos lähdetään alhaalta ylös ja pidetään kaikki pikselit mukana.

    Kaaos luonnossa on todistamatta. Mallin todistaminen kaoottiseksi ei todista sitä, että itse kohde olisi kaoottinen.

    Algoritmista kuvista generoitua musiikkia:
    www.synestesia.fi

    VastaaPoista
    Vastaukset
    1. Tämä esittämäsi toteamus "Mallin todistaminen kaoottiseksi ei todista sitä, että itse kohde olisi kaoottinen", on melko nihilistinen. Sen pohjana oleva ajatus johtaa siihen, ettei mitään luonnontieteellistä ilmiötä voisi todistaa.

      Arkikieleen pyrkien voisi esittää, että järjestelmä on kaoottinen, jos pieni muutos voi heittää sen eri lopputulokseen. Ja tällaisia järjestelmiä luonto on täynnä, todistettavasti. Esimerkiksi magneettien päällä heiluva magneettiheiluri on kaoottisen ilmiön suosittu demonstraatiolaite. Matemaattista määritelmää ei tietenkään voi osoittaa todeksi mittauksin, sillä epsilon-delta-menetelmä edellyttäisi ääretöntä mittaustarkkuutta.

      Sinänsä olisi tärkeää muistaa, ettei "kaoottisuus" suinkaan tarkoita mielivaltaisuutta. Kaoottinen järjestelmä päätyy yleensä aina jollekin "attraktorille", joita (tai niiden kvalitatiivisesti samankaltaisia ryhmiä) on useimmiten rajallinen määrä. Vaikka järjestelmän alkutilasta ei voikaan ennustaa varmasti, mihin se kehittyy, voi arvioida, millä todennäköisyydellä se johonkin tulokseen päätyy.

      Poista
    2. Ei tieteissä mitään "todisteta", kaikki teoriat ovat ikuisesti korkeintaan hypoteettisia. Matematikkassa todistetaan, mutta se ei olekaan tiede, vaan artefaktien teknologiaa.

      Poista
  6. Ihan pieni lisäys, joka kuuluu 0707 tarjottimelle itsestään selvästi.

    albert-lászló barabási: linkit. verkostojen uusi teoria (Terra cognita)

    VastaaPoista
  7. Saaren rantaviivasta tulee mieleen kaksi sanaa: saari, sellaisena kuin me sen meressä miellämme, ja saarrettu, sellaisena kuin me sen maalla miellämme. Mutta ne eivät ole eri asioita, joten ajatelkaapa uudestaan Lemminkäinen ja Saaren neidot. Sekin saari on hyvin voinut olla maalla.

    VastaaPoista
  8. Minä pidän enemmän elävistä bonsai-kasveista. Yritettiin semmoista kasvamaan sisällä, mutta ei onnistunut, puu kuoli. Olisi pitänyt löytää juuripaakkuun teurasjätteitä, mikä tuntui niin kamalalta, että yritettiin antaa organismille muuta ruokaa.

    Mutta sitten se jo kuoli. Ei tykännyt hapantuneesta maidosta. Ei homehtuneista juustonpalasista. Ei liian kauan jääkaapissa olleesta paistetusta kalasta.

    Eli siis sen sijaan kannattaa ilmeisesti katsella algoritmi-puita. Ei vaiskaan, lähden fillaroimaan pitkin rantaa. Se on varmaan paras lääke tähän tuskaan. Ukkosta ilmassa.

    VastaaPoista
  9. Voisiko joku määritellä mitä on "tiede"? Kaikkihan meistä usein referoivat ko käsitteeseen mutta onko selvä että tarkoitamme aina samaa.

    VastaaPoista
    Vastaukset
    1. Tiede on sitä mitä tieyhteisö pitää tieteenä. Uuden tieteen pitää tiettyyn rajaan saakka oltava vanhojen tiedeyhteisöjen hyväksymä metodeiltaan.

      Poista
  10. Argometristä tuli mieleen juuri ompelukoneella päärmäämäni pensionaatin pellavaliina. Siinäkun tikit loksahtaa aina eri loimen ja kuteen muodostamaan koloon vaikka tikki on yhtä pitkä ja konekudottu kangas pitäisi olla myös mitoiltaan täsmällinen.

    Vai onko tässä tapauksessa kysymyksessä fraktaali? Vai kaaos eli tikin, loimen ja kuteen sekamelska?

    Hohoijaa tätä ihmiselämää...

    VastaaPoista
    Vastaukset
    1. Pitäisikö hulpiot ensin yliluotella?
      Tiedustaa räätälin pojanpoika Kunnaksen Ilkka

      Poista
  11. Higgsin bosoni, myös Jumalhiukkaseksi kutsuttu, oli "viimeinen niitti" kreationistien hautajaisarkkuun. Kauankohan menee, kunnes USAn raamattuvyöhykkeeltä tulee kommentteja, jotka kieltävät koko Higgsin bosonin olemassaolon?

    VastaaPoista
    Vastaukset
    1. Alkoi jo tulla. Löytyy googlettamallakin.

      Poista
    2. En ole kreationisti enkä Darwinisti.Selittäisikö joku kansankielellä (onko mahd?) mitä merkittävää tässä bosonissa on,kenties kuvanauhaa maailman synnystä? Ensin ei ollut mitään ja sitte se räjähti.

      Poista
    3. "Lähestyy lähestymistään hetki jolloin Jumala löydetään tieteen avulla.Ihan pelottaa kuinka äijän käy" (Jercy Lec)

      Poista
    4. Higgsin hiukkasen merkitys on siinä, että se täydentää ns. kvanttiteorian standardimallin. Siinä on nimetty ja löydetty kaikki hiukkaset, jotka tarvitaan selittämään aine, energia ja voima - vain Higgsin bosonia ei ole tähän mennessä löydetty. Nyt siis kuulemma on. Ehkä. Suoraan sitä ei voida havaita, ainoastaan sen jättämä jälki.

      Higgsin hiukkanen antaa teorian mukaan massan muille hiukkasille. Usein kuvataan asia niin, että muut hiukkaset ikään kuin uivat higgsien täyttämässä kosmospuurossa. Kevyet nopeammin, raskaat hitaammin, olemattomat valonnopeudella.

      Poista
  12. http://actuspurunen.blogspot.fi/2012/07/hullunkurista.html

    VastaaPoista
  13. Ai,onks Feynman yleisesti tuntematon? Jos,niin sääli,äijällä on paitsi kansantajuisia tekstejä fysiikasta , myös esim. juttua naiseniskennän taiteesta , bongorumpujen soitosta jne.

    Sen lisäksi hän oli nero.

    VastaaPoista
  14. Saaret ja saaret...
    Kysyin veneellä evp. upseerilta paljonko tässä on vettä.
    "Sitä on rantaan saakka."
    Myöhempi pohjakosketus paransi perspektiiviä.

    Feynmania on miellyttävää lukea.
    Minulle tulee suru aina, kun yritän tyrkyttää sitä muillekin.

    -tr

    VastaaPoista